EXP:Satellitenbahnen bestimmen

Projekt: Satellitenbahnen bestimmen

In diesem Projekt wurde mit einfachen Mitteln (CCD-Kamera) ein Experiment entwickelt, um die Flughöhe und Geschwindigkeit eines Satelliten zu bestimmen. Über die Belichtungszeit entsteht eine Lichtspur, die im Zusammenhang mit dem beobachteten Himmelsausschnitt die Winkelgeschwindigkeit ergibt. Über die Gravitationskraft und die Zentripetalkraft kann die Flughöhe bestimmt werden.

Theoretische Zusammenfassung

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ kann über den überstrichenen Winkel des Satelliten und die eingestellte Belichtungszeit $t$ der Kamera berechnet werden. Es gilt:

$\mathrm{\omega }=\frac{\alpha }{t}.$

Ggf. muss der Winkel noch in rad umgerechnet werden. Die Flughöhe $h_S$ des Satelliten kann über das bestehende Kräftegleichgewicht zwischen Zentripetalkraft $F_Z=\gamma \cdot \frac{m_E\cdot m_S}{r^2}$ und Gravitationskraft $F_G=\frac{m_S\cdot v^2}{r}$ berechnet werden. Dabei ist $\gamma =6,67430\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg{s}^2}$ die Gravitationskonstante, die Masse der Erde $m_E=5,9722\cdot 10^{24}$ kg und die Masse des Statelliten. Die Bahngeschwindigkeit wird mit $v$ bezeichnet. Für die Bahngeschwindigkeit $v$ des Satelliten gilt:

$v=\mathrm{\omega }\cdot r.$

Das Kräftegleichgewicht lässt sich zu $r=\sqrt[3]{{\frac{\gamma \cdot m_E}{\omega }}^2}$ umformen, wobei sich r aus der Höhe des Satelliten $h_S$ und dem Erdradius $r_E=6371km$ zusammensetzt.

Didaktischer Rahmen

Fachdidaktische Zielsetzung

Den Schüler*innen soll die Wechselwirkung zwischen Gravitations- und Zentripetalkraft verständlich gemacht werden. So sollen ihre Fähigkeiten und ihr Verständnis für verschiedene Bezugssysteme erweitern. Zusätzlich kann das Interesse der Schüler*innen durch das Phänomen des Nachthimmels erhöht werden.

Nötige Vorkenntnisse

Den Schüler*innen sollte die Gravitations- sowie die Zentrifugalkraft und deren Zusammenspiel bekannt sein.

Mögliche Schülerschwierigkeiten

Die Schüler*innen könnten Schwierigkeiten haben die rotierenden Bezugssysteme Erde und Satellit zu unterscheiden und ihre eigene Position als Beobachter darin.

Schülervorstellungen, die hier relevant werden

"Im Weltall gibt es keine Schwerkraft." "Die Schwerkraft hebt sich beim Verlassen der Erde auf." Diese Schülervorstellungen kommen vermehrt durch Filme zustande, in denen Astronaut*innen in der Schwerelosigkeit arbeiten. Speziell bei Kreisbewegungen kommt häufig das Präkonzept, dass sich die Bewegungsform dem bewegten Objekt einprägt, vor.

Die Auswahl des Bildes sollte symbolisch den gesamten Versuch beschreiben und ansprechend sein

Allgemein

Klassenstufe	Klasse 9/10 bzw. vierstündiger Kurs (Vertiefungsbereich)
Kategorie	Astronomie
Einordnung in den Bildungsplan von BW	3.3.5 (S.25-26) bzw. 3.6.7 (S.41)

Klassifikation

Quantitativ/Qualitativ	Qualitativ
Demo-/Schülerexperiment	Demo- und Schülerexperiment
Unterrichtsphase	Erarbeitungsphase
Einzelversuch/Versuchsreihe	Einzelversuch

Versuchsanleitung

Benötigtes Material

• ZWO ASI187MC
• Stativ
• USB-Kabel A-B
• Laptop
• ggf. Gimp
• Pythonskript

Versuchsaufbau

Es ist sinnvoll den Versuch nur bei wolkenlosem Himmel aufzubauen. Zudem sollte ein Zeitabschnitt von ca. 40 Minuten nach Sonnenuntergang gewählt werden, da hier die Satelliten noch von den Sonne bestrahlt werden.

Schritt 1

Es wird ein Beobachtungsort gewählt, an dem wenig Lichtverschmutzung herrscht und der Weitwinkel nicht durch Gebäude, Bäume ect. versperrt wird.

Schritt 2

Auf dem verwendeten Laptop ist vorher die benötigte Software (https://www.zwoastro.com/products/asistudio) zum Auslesen der Kamera zu installieren. Die Kamera wird mit dem Laptop verbunden und auf einem Staiv gen Himmel platziert.

Schritt 3

Zur Identifizierung der einzelnen passierenden Satelliten ist es sinnvoll eine App zu verwenden. So kann auch erkannt werden, wann der jeweilige Satellit am Himmel erscheint. Es hat sich die App "Heavens above" als geeignet erwiesen.

Durch das geschickte Setzen von Umgebungen kann das Bild des Kolibris hier an dieser Stelle erscheinen und könnte jetzt zum Beispiel den ersten Schritt des Experiments beschreiben

Versuchsdurchführung

Zuerst wird das oben genannte Programm auf dem Laptop geöffnet und die ASICap App darin gestartet. Zunächst muss im Steuerungsfeld die verwendete Kamera ausgewählt werden. Es wird eine Belichtungszeit von bspw. 10s eingestellt. Die Verstärkung wird auf einen Kompromiss zwischen Helligkeit und Dunkelheit gebracht. Bevor man mit den Aufnahmen beginnt, sollte der richtige Dateiordner gewählt werden. Mit Hilfe der App wird ein vorbeifliegender Satellit identifiziert. Meist dies mit dem bloßen Auge möglich. Die Aufnahme wird gestartet. Es bietet sich an von einem Satelliten mehrere Aufnahmen hintereinander zu machen, um später einen gemittelten Wert zu bestimmen.

Auswertung

Der Ansatz für das Kräftegleichgewicht bezieht sich jeweils auf den Mittelpunkt der Erde und des Satelliten, beobachtet wird aber ander Oberfläche der Erde. Daher muss der andere Winkel $\beta$ in der folgenden Rechnung berücksichtigt werden. Wie in folgender Abbildung zu erkennen ist, ergibt sich trigonometrisch folgender Zusammenhang: $\beta =2\cdot arc\tan \frac{h_S}{h_S+r_E}\cdot \tan \frac{\alpha }{2}.$

Datei:Experimente Astronomie Relativerwinkel.png

Der blaue Punkt stellt den Mittelpunkt der Erde dar, der gelbe Punkt beschreibt den Beobachter. Der Beobachtungswinkel ist, wie in der Abbildung zu erkennen, deutlich kleiner als am Mittelpunkt der Erde.

Wie zu erkennen ist, wird hier nun die Höhe des Satelliten benötigt, welche aber eigentlich bestimmt werden soll. Ein möglicher Ansatz wäre geschicktes Taylorn der Formel, was allerdings analytisch zu aufwendig wird. Mithilfe von Vektorgeometrie kann folgender Zusammenhang aufgestellt werden:

$\overrightarrow{x}=(r_E+h_S)\cdot \left(\begin{array}{c}\cos \omega t\\ \sin \omega t\end{array}\right)$

$\overrightarrow{x_{ob}}=\overrightarrow{x}-\overrightarrow{o_b}=(r_E+h_S)\cdot \left(\begin{array}{c}\cos \omega t\\ \sin \omega t\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{r}_E\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(r_E+h_S)\cos \omega t-r_E\\ (r_E+h_S)\sin \omega t\end{array}\right)$

${\alpha }_{ob}=\arctan \left(\frac{\overrightarrow{x_{ob}}\cdot e_y}{\overrightarrow{x_{ob}}\cdot e_x}\right)=\arctan \left(\frac{(r_E+h_S)\cdot \sin \omega t}{(r_E+h_S)\cdot \cos \omega t-r_E}\right)$

$v_{ob}=\frac{\partial }{\partial t}{\alpha }_{ob}=...$

An dieser Stelle wird ersichtlich, dass die Winkel- und Kreisorbitabhängigkeit zu berücksichtigen sind und eine analytische Lösung zu aufwendig wäre. Zur Vereinfachung wird auf ein Pythonprogramm zurückgegriffen, das die Höhen abschätzt. Im Unterricht kann es als "Black-Box"-System hingenommen werden. Darin muss die Breite und Länge des Bildes in Pixeln angegeben werden. Zudem ist das aufgenommene Bild der Kamera mit einem 170° Winkel nicht linear, sondern gestreckt. Diese nicht lineare Linsenfunktion muss entsprechend im Skript berücksichtigt werden.

Datei:Experimente Astronomie Satellitenaufnahme.png

Im Bild ist zu erkennen, dass sich drei Starlink-Satelliten über das Himmelszelt bewegen. Der markante Streifen kann als Weltraumschrott identifiziert werden.

Mithilfe des Skripts konnten folgende Werte für die oben ersichtlichen Satelliten ermittelt werden. Es wurden zwei Bilder in einem zeitlichen Abstand von wenigen Sekunden aufgenommen, um genauere Werte zu ermitteln. Im folgenden werden die Satelliten und der jeweilige Mittelwert aufgelistet.

• SL 2711: 362 km und 387 km; 374,5 km
• SL 3788: 309 km und 324 km; 316,5 km
• SL 2712: 458 km und 511 km; 484,5 km
• Weltraumschrott: 354 km und 366 km; 360 km

Es ergeben sich für die obigen Satelliten folgende Abweichung zum tatsächlichen Wert.

• SL 2711: 554 km \pm 32,4 %

Die tatsächliche Höhe des SL 2711 beträgt 554 km, was eine prozentuale Abweichung von ... ergibt. Für den Satellit SL 2711 und 3788 ergeben sich etwas größere Abweichungen.

Mögliche Probleme und ihre Lösungen

Treten beim Experiment häufiger Fehler auf? Bitte beschreibe sie hier.

Sicherheitshinweise

Hier nötige Sicherheitshinweise notieren. Ggf. Betriebsanweisung verlinken.

• Influenzmaschine

Fotos

Am Ende des Dokuments kommt eine Galerie aller Bilder, die zu diesem Experiment unter dem Namensraum "Datei:" bereits vorhanden sind. Im Allgemeinen lohnt es sich häufig auch, bereits bestehende Texte und deren Syntax zu betrachten:
<div class="row"> <div class="large-4 large-centered columns"> <ul class="example-orbit" data-orbit> <li> [[Datei:Bild.png|slide 1]] <div class="orbit-caption"> Bildbeschreibung </div> </li> </ul> </div> </div>

• 

      Platzhalter
  

• 

       Ein Kolibri
  

Literatur

Universität Stuttgart, 5. Physikalisches Institut, AG Physik und ihre Didaktik, lizenziert unter CC BY-NC-SA 4.0