EXP:Suszeptibiltätsmessung von Gadolinium

In diesem Versuch soll ein Phasenübergang von Gadolinium eine durch die Messung der magnetischen Suszeptibilität $\chi$ in Abhängigkeit von der Temperatur $T$ untersucht werden. Der Phasenübergang findet bei der Curie-Temperatur von Gadolinium $T_{\mathrm{C}}\approx 19{}^{\circ }\mathrm{C}$ statt. Es kann gezeigt werden, dass sich das Gadolinium unterhalb dieser Temperatur ferromagnetisch und oberhalb dieser Temperatur paramagnetisch verhält.

Theoretische Zusammenfassung

Welche physikalische Theorie steckt hinter dem Versuch. Gerne so genau wie möglich und so ausführlich wie nötig.

Didaktischer Rahmen

Fachdidaktische Zielsetzung

Auf welche prozessbezogene Kompetenz soll hier Wert gelegt werden? Beschreibe hier genauer was die SuS mit diesem Experiment lernen sollen.

Nötige Vorkenntnisse

Es sind keine spezifischen Vorkenntnisse zur Durchführung des Versuchs notwendig. Hilfreich sind Kenntnisse zu Arduino sowie zur Auswertung mit Python.

Schülervorstellungen, die hier relevant werden

Gibt es in der Literatur bereits erforschte Schülervorstellungen, die bei diesem Experiment relevant werden könnten? Beschreibe die Schülervorstellungen mit eigenen Worten und beschreibe warum sie hier relevant sind. GGf. kannst du auch einen Lösungsansatz beschreiben.

Quelle angeben, z.B. so:

Abbildung 1: Versuchsanordnung zur Suszeptibilitätsmessung von Gadolinium

Allgemein

Klassenstufe	Klasse 7/8
Kategorie	Magnetostatik
Einordnung in den Bildungsplan von BW	Magnetismus und Elektromagnetismus, Punkt 3.2.4 (1)

Klassifikation

Sachbegegnung	Realexperiment
Datenerfassung	Quantitativ
Organisationsform	Lehrerversuch
Unterrichtsphase	Vertiefungsphase
Geräteaufwand	Aufbauversuch
Ausführungsform	Einzelversuch

Versuchsanleitung

Benötigtes Material

Für den Versuch wird folgendes Material benötigt:

• Gadolinium - Probe (Zylinder mit Höhe $h=2\mathrm{c}\mathrm{m}$ und Durchmesser $d=1\mathrm{c}\mathrm{m}$, ausgemessen mit einem Messschieber)
• Neodym-Permanentmagent (Zylinder)
• Pasco Smart Magnetfeldsensor, 3-achsig
• Lineal ($30\mathrm{c}\mathrm{m}$)
• Stativmaterial
  • Stativstange ($150\mathrm{c}\mathrm{m}$)
  • Stativstange ($30\mathrm{c}\mathrm{m}$)
  • Stativstange ($5\mathrm{c}\mathrm{m}$) mit M6-Gewinde
  • Tischklemme
  • 2 Doppelmuffen
  • Faden
  • Klebeband
  • Notizzettel
  • Schere
• Lötmaterial
  • Lötkolben
  • Lötzinn
  • Schrumpfschläuche
• Arduino
  • Arduino (Uno, Nano, ...; nicht relevant, welcher)
  • passendes USB-Anschlusskabel für den Arduino
  • PC mit Arduino IDE und Python
• • Temperatursensor (DS1820)
  • $4,7\mathrm{k}\mathrm{\Omega }$-Widerstand
• Kraftmessung
  • Wägezelle (1 kg mit zugehöriger Verstärker-PCB (HX711))
  • Massestück
  • Digitalwaage AMIR bis 500g
  • Elektronikzeugs
    • Steckbrett
    • Jumper-Kabel
• Wasserbad für die Gadolinium-Probe
  • Wasser
  • Becherglas ($20\mathrm{m}\mathrm{l}$)
  • Kühlschrank
  • Heizfolie
  • Bananenkabel
  • Labornetzgerät PeakTech 6226
  • Kaltgerätekabel
  • Styroporklotz
  • Cutter
  • Plastiktüte für die Gadolinium-Probe
  • Kupferdraht
  • Zange

Versuchsaufbau

Schritt 1

Mit dem Pasco-Magnetfeldsensor wird die Magnetfeldkomponente des Neodymmagneten in Richtung der Symmetrieachse des Magneten $B$ auf der Symmetrieachse des Magneten in Abhängigkeit vom Abstand des Sensors zum Magneten $d$ ausgemessen.

Schritt 2

Die Temperatur der Gadolinium-Probe wird mit einem Wasserbad verändert. Hierzu wird ein Becherglas mit Heizfolie umwickelt und in einen Styroporklotz eingelassen, in dem zuvor mit einem Cuttermesser ein entsprechender Hohlraum eingebracht wurde. Die Heizfolie wird mit einem Netzgerät betrieben. Die Gadolinium-Probe wird mit einer Plastiktüte vor Wasser geschützt. Um die Probe aufrecht im Becherglas platzieren zu können, wird sie mit Kupferdraht umwickelt und damit stabilisiert.

Abbildung 2: Wasserbad mit Gadolinium-Probe

Schritt 3

Die Wägezelle wird mit einer Stativstange mit M6-Gewinde an einem Stativ montiert. Die an der Wägezelle entstehende Spannung wird mit einer Verstärkerschaltung verstärkt und am Arduino abgegriffen. Nach einer Kalibration kann aus dieser Spannung die Kraft auf die Wägezelle bestimmt werden. Die Kalibration erfolgt mit einem Massestück, dessen Masse mit einer Waage bestimmt wird und welches mit dem gleichen Faden wie der Magnet an der Wägezelle befestigt wird. Anschließend wird der Neodymmagnet mit einem Notizzettel und Klebeband an diesem Faden aufgehängt und das Stativ so justiert, dass der Magnet möglichst genau $2\mathrm{c}\mathrm{m}$ senkrecht über der Gadolinium-Probe hängt.

Abbildung 3: Aufhängung des Permanentmagneten

Schritt 4

Ebenso wird die am Temperatursensor vorherrschende Temperatur mit dem Arduino ausgelesen. Im Serial Monitor der Arduino-IDE werden die gemessene Masse und die Temperatur jeweils ca. sekündlich in einer Zeile ausgegeben.

Dabei bedient man sich folgender Schaltung aus den o.g. Komponenten:

Abbildung 3: Aufhängung des Permanentmagneten

Der Programmcode unserer Durchführung ist dabei.

Versuchsdurchführung

Um eine Messung durchzuführen, wird das Becherglas mit Wasser befüllt, welches zuvor im Kühlschrank gekühlt wurde. Anschließend wird mit dem Betrieb der Heizfolie begonnen und das Arduino-Programm gestartet. Nach Erreichen der gewünschten Endtemperatur wird die Masse des Magneten ermittelt, indem das Becherglas mit der Gadolinium-Probe unter dem Magneten entfernt wird und weiterhin Messwerte für die Kraft aufgenommen werden. Die Ausgabe im seriellen Monitor kann in eine Textdatei kopiert und anschließend mit Python ausgewertet werden.

Auswertung

Es bezeichne die $z$-Richtung die Richtung der Symmetrieachse des Magneten von Süden nach Norden. Idealerweise zeigt die magnetische Flussdichte $\overrightarrow{B}$ entlang der Symmetrieachse des Magneten in $z$-Richtung. In guter Näherung zeigen die durch das externe Magnetfeld in der Probe orientierten magnetischen Momente ebenfalls in $z$-Richtung. In diesem Fall lautet die $z$-Komponente der Kraft auf die magnetische Probe

$\begin{array}{r}\tilde{F}=MV\frac{\partial B}{\partial z},\end{array}$

wobei $B$ die $z$-Komponente der Flussdichte $\overrightarrow{B}$, $M$ die $z$-Komponente der Magnetisierung der Probe und $V$ das Volumen der Probe ist. Entsprechend des dritten newtonschen Axioms ist die z-Komponente der Kraft auf den Magneten $F=-\tilde{F}$. Nun stellen wir uns die Probe zusammengesetzt aus unendlich vielen infinitesimal dünnen Scheibchen der Höhe $\mathrm{d}z$ vor. Jedes dieser Scheibchen übt auf den Magneten die infinitesimale Kraft $\mathrm{d}F=-M\frac{\partial B}{\partial z}A\mathrm{d}z$ aus. Unter Annahme eines linearen Zusammenhangs von externer Flussdichte $B$ und der Magnetisierung $M$ gilt in jedem Punkt $M=\chi \frac{B}{{\mu }_0}$ mit der Suszeptibilität $\chi$. Damit lautet die insgesamt auf den Magneten wirkende Kraft

$\begin{array}{rl}F& =\int \mathrm{d}F\\ & =-\underset{z_0}{\overset{z_0+h}{\int }}\underset{=\chi \frac{B}{{\mu }_0}}{\underbrace{M}}\frac{\partial B}{\partial z}Adz\\ & ={[-\chi \frac{A}{2{\mu }_0}{B}^2]}_{z_0}^{z_0+h}\\ & =\chi \frac{A}{2{\mu }_0}(B(z_0{)}^2-B(z_0+h{)}^2).\end{array}$

Somit lässt sich die Suszeptibilität über die Formel

$\begin{array}{r}\chi =\frac{2{\mu }_{0}F}{A(B(z_0{)}^2-B(z_0+h{)}^2)}\end{array}$

berechnen. Ist $F_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}$ die $z$-Komponente der an der Wägezelle gemessenen Kraft, welche die Resultierende aus der magnetischen Kraft und Gewichtskraft von Faden und Magneten ist, so gilt dabei

$\begin{array}{r}F=F_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}-F_{\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}},\end{array}$

wobei $F_{\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}$ die $z$-Komponente der Gewichtskraft ist. Diese ist die nach Entfernen des Becherglases mit der Gadolinium-Probe unter dem Magneten mit der Wägezelle gemessenen Kraft.

In Abbildung 4 sind die aus den Kraftmesswerten errechneten Werte für die Suszeptibilität $\chi$ gegen die Temperatur $T$ aufgetragen.

Abbildung 4: Magnetische Suszeptibilität $\chi$ der Gadolinium-Probe in Abhängigkeit von der Temperatur $T$

Fehlerabschätzung

Die Gadoliniumprobe befindet sich bereits aufgrund ihres endlichen Durchmessers nur näherungsweise in der Symmetrieachse des Permanentmagneten und war zudem im realen Versuch etwas schräg gegenüber dieser ausgerichtet. Weiterhin fällt das Magnetfeld des Permanentmagneten im relevanten Abstandsbereich sehr stark ab, sodass die Flussdichte am oberen und unteren Ende der Gadoliniumprobe mit einem vergleichsweise großen Fehler behaftet ist. Zudem kann der Abstand zwischen Gadoliniumprobe und Permanentmagnet aufgrund der Aufhängung des Permanentmagneten nur grob gemessen werden.

Die Gleichung $M=\chi \frac{B}{{\mu }_0}$ gilt näherungsweise für kleine externe Flussdichten $B$. Tatsächlich ist die Hysteresekurve nichtlinear und die Suszeptibilität $\chi ={\mu }_0\frac{\partial M}{\partial B}$ (Steigung der Hysteresekurve) hängt von $B$ ab. Die gemessene Suszeptibilität in diesem Versuch ist ein Mittelwert, denn auf unterschiedliche Teile der Probe wirken aufgrund deren Ausdehnung unterschiedliche externe Flussdichten $B$.

Größen wie die Flussdichte oder die Kraft auf die Probe sind vektoriell, bei der Auswertung wird die Richtung dieser Größen als bekannt angenommen. Es wird angenommen, dass das Gadolinium magnetisch isotrop ist und daher die Magnetisierung $M$ und die externe Flussdichte $B$ die gleiche Richtung haben.

Mögliche Probleme und ihre Lösungen

Treten beim Experiment häufiger Fehler auf? Bitte beschreibe sie hier.

Sicherheitshinweise

Bei vorliegendem Experiment besteht Verletzungsgefahr durch

• umkippende Versuchsaufbauten und sich lösende Teile.
• mögliche Quetschungen im Umgang mit dem Permanentmagenten.
• einen Stromschlag oder einem Kurzschluss bei nicht ordnungsgemäßem Anschluss der Kabel oder Justieren des Versuchsaufbaus bei angeschaltetem Netzgerät (siehe Betriebsanweisung für Elektrische Geräte, Anlagen und Leitungen).
• Verbrennungen beim Berühren der Heizfolie.

Fotos

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      Gesamter Versuchsaufbau
  

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       Wasserbad mit Gadolinium-Probe
  

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       Aufhängung des Permanentmagneten 
  

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       Arduino mit Wägezelle und Temperatursensor
  

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       Detailansicht der Verstärkerschaltung für die Wägezelle
  

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       Magnetische Suszeptibilität $\chi$ der Gadolinium-Probe in Abhängigkeit von der Temperatur $T$
  

Literatur

Universität Stuttgart, 5. Physikalisches Institut, AG Physik und ihre Didaktik, lizenziert unter CC BY-NC-SA 4.0