Dopplereffekt mit Ultraschallwellen

Beim Arbeiten mit Ultraschallwellen werden die physikalischen Größen wie Amplitude, und Frequenz am Oszilloskop sichtbar gemacht. Zudem soll durch eine Bewegung des Pendelkörpers der Dopplereffekt und damit eine Frequenzänderung am Oszilloskop sichtbar gemacht werden. Durch Lautsprecher wird der Dopplereffekt auch akustisch wahrnehmbar.

Theoretische Zusammenfassung

Der Dopplereffekt tritt immer dann auf, wenn sich Schallquelle und Empfänger relativ zueinander bewegen. Dieser Effekt ist den Schülerinnen und Schülern aus dem Alltag in der Regel bekannt. Ein Beispiel ist hier ein Einsatzfahrzeug mit eingeschaltetem Martinshorn. Die Frequenz der Tonfolge hört sich für den ruhenden Empfänger höher an, wenn sich das Fahrzeug auf dem Empfänger zu bewegt. Entfernt sich das Fahrzeug hört der Empfänger den Ton tiefer. Dieser Effekt wird nun mathematisch beschrieben. Dabei gilt der Zusammenhang zwischen der Frequenz und der Geschwindigkeit von Sender bzw. Empfänger mit

$f_{\mathrm{E}}=f_{\mathrm{S}}\cdot \frac{c_{\mathrm{L}\mathrm{u}\mathrm{f}\mathrm{t}}\pm v_{\mathrm{E}}}{c_{\mathrm{S}}\mp v_{\mathrm{S}}}.$

Der Index E steht für den Empfänger und S für den Sender. Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt bei Raumtemperatur $c_{\mathrm{L}\mathrm{u}\mathrm{f}\mathrm{t}}=343\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Bei diesem Versuch werden zwei Wellen mit einem Frequenzmischer überlagert. Der Frequenzbereich beider Wellen liegt nahe beisammen und es tritt das Phänomen der Schwebung auf. Die Auslenkung der Wellen an einem festen Ort sind mit den Gleichungen

$x_{\mathrm{1}}(t)=x_{\mathrm{0}}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(f_1\cdot 2\pi t)$

bzw.

$x_{\mathrm{2}}(t)=x_{\mathrm{0}}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(f_2\cdot 2\pi t)$

gegeben. Durch die Überlagerung beider Wellen folgt die Funktion

$x(t)=2\cdot x_0\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\pi t(f_1-f_2))\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi t(f_1+f_2)).$

Im ersten Faktor von der oben stehenden Gleichung ist die Schwebungsfrequenz mit

$f_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}=f_1-f_2$

enthalten. In diesem Versuch beträgt die Frequenz des Ultraschalls $f_1=40\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$. Die Überlagerungsfrequenz kann in einem Bereich um $f_2=39,5\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$ eingestellt werden. Es resultiert eine Schwebungsfrequenz von $f_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}=500\mathrm{H}\mathrm{z}$, welche im hörbaren Frequenzbereich liegt. Der zweite Faktor setzt sich aus der Addition beider Frequenzen

$f_{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{d}}=f_1+f_2=79,5\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$

zusammen und liegt im nicht hörbaren Bereich. Durch einen Tiefpassfilter kann diese hohe Frequenz herausgefiltert werden. Ändert sich nun die Frequenz des Ultraschallempfängers durch den Dopplereffekt, dann ändert sich auch die Schwebungsfrequenz. Diese Frequenzänderung liegt in der Größenordnung von $\mathrm{\Delta }f=100\mathrm{H}\mathrm{z}$ und ist hörbar.

Didaktischer Rahmen

Fachdidaktische Zielsetzung

In Abhängigkeit der Klassenstufe sollen die Schülerinnen und Schüler (SuS) qualitative physikalische Größen unter Verwendung der Fachsprache beschreiben können. In diesem Fall wird die Frequenz gestaucht wenn sich das Pendel auf die Ultraschall Sender-/ Empfängereinheit zubewegt.

Nötige Vorkenntnisse

Für ein besseres Verständnis sollten bei diesem Experiment der Frequenzbegriff bereits geklärt sein. Auch der Frequenzgenerator sollte vor dem Experiment vorgestellt werden. Der für den Menschen hörbare Frequenzbereich ist bekannt und ab welchen Frequenzen von Ultraschall gesprochen wird. Bei der Darstellung mit einem Oszilloskop sollte auch der Begriff Amplitude bekannt sein. Um das Messergebnis richtig interpretieren zu können, sollen die Schülerinnen und Schüler vorab wissen, wozu ein Oszilloskop verwendet wird und verstehen welche Messwerte es anzeigt.

Mögliche Schülerschwierigkeiten

Schülerinnen und Schüler können Schwierigkeiten dabei haben, warum Ultraschall nicht hörbar ist aber am Lautsprecher ein hörbarer Ton entsteht. Der Hintergund für diesen Effekt ist eine Überlagerung zweier Frequenzen. Diese wird beim Empfänger als Fourierreihe wahrgenommen, bei der jedoch nur der erste Summand der Reihe hörbar wird. Das Thema der Fourierreihen ist nicht Teil des Bildungsplans. Bei einem Schülerexperiment können Probleme bei der Bedienung des Oszilloskopes auftreten. Bei einem Demonstrationsexperiement ist darauf zu achten, dass alle Schülerinnen und Schüler eine gute Sicht auf die Anzeige des Oszilloskopes haben. Neben der Frequenz verändert sich auch die Amplitude. Dadurch kann der Eindruck entstehen, dass sich durch eine Veränderung des Abstandes nur die Lautstärke verändert.

Schülervorstellungen, die hier relevant werden

Im kindlichen Alter gehen Schülerinnen und Schüler (SuS) oft davon aus, dass ein Ton als punktförmiges Teilchen durch den Raum fliegt und aus einem Körper (wie zum Beispiel einer Stimmgabel) herausgeschlagen wird. In den Klassen 7/8 sowie 11/12 besteht diese Vorstellung meistens nicht mehr. Den SuS ist bewusst, dass sich Schall wellenförmig ausbreitet. Bei der Ausbreitung von Schallwellen gehen SuS davon aus, dass sich höhere Frequenzen schneller fortbewegen als tiefere.

Kompletter Versuchsaufbau für den Dopplereffekt mit Ultraschallwellen. Das Pendel ist in diesem Bild abgeschnitten. Fotograf: Simon Würstlin

Allgemein

Klassenstufe	Klasse 11/12 & 7/8
Kategorie	Wellen & Akustik
Einordnung in den Bildungsplan von BW	3.4.4 (1) / 3.5.4 (1) / 3.6.4 (1) & 3.2.2 (1)

Versuchsanleitung

Benötigtes Material

• Frequenzgenerator

• Direktmischer gemäß Aufbauanleitung

• 9 V Blockbatterie oder Netzgerät (30 V DC)

• Oszilloskop

• Aktive Lautsprecher

• Ultraschallsender (UST-40T) und -empfänger (UST-40R) 40 kHz

• Aufnahme für Ultraschallsensorik

• USB-Stick für Bildaufnahmen aus Oszilloskop

Versuchsaufbau

Schritt 1

Zunächst wird ein Pendel aufgebaut. Der Pendelkörper (hier als Schirm bezeichnet) muss eine ebene Fläche sein und den Schall gut reflektieren. Dazu eignet sich beispielsweise eine Aluminiumplatte, welche an einem langen Faden befestigt wird. Ungeeignet sind Styroporplatten.

Schritt 2

Der Frequenzgenerator wird an den Ultraschallsender angeschlossen und auf eine Frequenz von $f=40\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$ eingestellt. Die maximale Betriebsspannung des Ultraschallsenders beträgt $U_{\mathrm{p}\mathrm{-}\mathrm{p}}=20\mathrm{V}$.

Schritt 3

Neben dem Ultraschallsender wird der Empfänger positioniert. Eine Aufnahme, welche mittels 3D Druck hergestellt wurde, hilft bei der Ausrichtung der Sensorik. Der Ultraschallempfänger wird an den Direktmischer angeschlossen.

Schritt 4

Der Direktmischer, wie in der nebenstehenden Abbildung dargestellt, mit einer $9\mathrm{V}$ Blockbatterie oder einer Gleichspannungsquelle mit Spannung versorgt. Das Ausgangssignal wird an ein Oszilloskop angeschlossen. An dem Trimmer des Direktmischers wird eine Mischfrequenz von ca. $f_{\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}}=39,5\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$ eingestellt. Am Oszilloskop wird eine Schwebungsfrequenz von $f_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}=500\mathrm{H}\mathrm{z}$ gemessen.

Schritt 5

Wenn das Pendel in Bewegung versetzt wird, verändert sich die angezeigte Schwebungsfrequenz am Oszilloskop. Optional kann neben dem Oszilloskop noch ein Lautsprecher angeschlossen werden. Dadurch werden die Frequenzunterschiede hörbar.

Hinweis

Die Ultraschallsensorik, bestehend aus Sender und Empfänger, werden auf gleicher Höhe in einer Aufnahme platziert. Mit einem 3D Drucker wird eine Aufnahme angefertigt, in der die Sensorik platziert wird. Der Schaltplan des Direktmischers ist unter www.elexs.de zu finden.

Skizze für den Versuchsaufbau. Der Frequenzgenerator wird an den Ultraschallsender angeschlossen. Das Signal des Empfängers führt zum Direktmischer. Das Ausgangssignal des Direktmischers führt zum Oszilloskop und (optional) zu einem Lautsprecher.

Der vollständige Aufbau gemäß der Aufbauskizze mit Beschriftung der verwendeten Geräte. Am Direktmischer wird das Signal des Ultraschallempfängers mit einer einstellbaren Frequenz gemischt. Die resultierende Schwebungsfrequenz ist am Ausgang mit einem Oszilloskop messbar. Bei Auslenkung des Pendels verändert sich die Schwebungsfrequenz. Diese Frequenzänderungen können am Lautsprecher hörbar gemacht werden.

Im Schulunterricht kann, je nach Zielgruppe, der Frequenzmischer als "Black Box" vorgestellt werden. Die Ein- und Ausgänge sind so beschriftet, dass ein Aufbau nach der Aufbauskizze möglich ist.

Versuchsdurchführung

Nach der Einstellung des Direktmischers wird am Oszilloskop die Schwebungsfrequenz im Ruhezustand dargestellt. Für die Versuchsdurchführung wird das Pendel in Schwingung versetzt. Die Schwebungsfrequenz wird niedriger, wenn sich das Pendel von der Ultraschallsensorik entfernt. Auf der anderen Seite steigt die Frequenz, wenn sich das Pendel auf die Schallquelle zubewegt. Die minimale Frequenz beträgt in diesem Fall $f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=476\mathrm{H}\mathrm{z}$ und die maximale Frequenz $f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=526\mathrm{H}\mathrm{z}$. Es wird davon ausgegangen, dass das Pendel nur schwach gedämpft wird. Damit ist der Betrag der Geschwindigkeit des Schirms in beide Bewegungsrichtungen gleich groß.

Das Experiment kann qualitativ und quantitativ ausgewertet werden. Bei der quantitativen Auswertung wird auf die Messprogramme des Oszilloskops zurückgegriffen. Dabei wird die maximale und minimale Frequenz angezeigt. In der nebenstehenden Abbildung sind die beiden Frequenzen zu sehen.

Screenshot des Oszilloskopes. Die gemessene Frequenz beträgt in diesem Fall $f=526\mathrm{H}\mathrm{z}$

Screenshot des Oszilloskopes. Die gemessene Frequenz beträgt in diesem Fall $f=476\mathrm{H}\mathrm{z}$

Auswertung

Mit den gemessenen Frequenzen wird zunächst der Mittelwert berechnet. Im Idealfall entspricht der Mittelwert der zuvor eingestellten Ruhefrequenz. Die berechnete Ruhefrequenz beträgt

$f_{\mathrm{R}\mathrm{u}\mathrm{h}\mathrm{e}}=\frac{526\mathrm{H}\mathrm{z}+476\mathrm{H}\mathrm{z}}{2}=501\mathrm{H}\mathrm{z}$

und damit weicht die Frequenz um $\mathrm{\Delta }f=25\mathrm{H}\mathrm{z}$ ab. Mit dieser Frequenzabweichung wird die maximale Geschwindigkeit des Pendels berechnet. Diese ist

$v_{\mathrm{x}}=343\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \left(\frac{40025\mathrm{H}\mathrm{z}-40000\mathrm{H}\mathrm{z}}{40025\mathrm{H}\mathrm{z}+40000\mathrm{H}\mathrm{z}}\right)=0,107\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$

Bei einer bekannten Pendellänge kann mit diesem Ergebnis die Auslenkung des Pendels berechnet werden. Dadurch ist eine Wiederholung des vorherigen Themenbereichs Schwingungen möglich.

In der Klassenstufe 7/8 kann der Versuch mit Lautsprechern qualitativ durchgeführt werden. Die Schülerinnen und Schülern hören die Frequenzänderung des Tones in Abhängigkeit davon, ob sich das Pendel zur Sensorik hin oder wegbewegt.

Mögliche Probleme und ihre Lösungen

• Schülerinnen und Schüler können Schwierigkeiten dabei haben, warum Ultraschall nicht hörbar ist aber am Lautsprecher ein hörbarer Ton entsteht. Es ist darauf hinzuweisen, dass lediglich die eingestellte Modulation, also die einhüllende Frequenz, hörbar ist.

• Bei einem Schülerexperiment können Probleme bei der Bedienung des Oszilloskopes auftreten. Bei einem Demonstrationsexperiement ist darauf zu achten, dass alle Schülerinnen und Schüler eine gute Sicht auf die Anzeige des Oszilloskopes haben.

• Während der Pendelbewegung verändert sich die Amplitude der Modulationsfrequenz. Zudem verschiebt sich bei der Pendelbewegung auch die Phase, was am Lautsprecher ein Rauschen hervorrufen kann. Dadurch kann der Eindruck entstehen, dass sich durch die Pendelbewegung auch die Frequenz verändert.

Sicherheitshinweise

Verletzungsgefahr durch umkippende Versuchsaufbauten und sich lösende Teile. Durch den unsachgemäßen Gebrauch und/oder die Verwendung eines mangelhaften Geräts und/oder Anschlussleitung kann es zu lebensgefährlichen Körperströmen kommen. Von der Ultraschallquelle können Gefahren für Tiere ausgehen. Bei falscher Einstellung des Verstärkers und Lautsprechers können laute unangenehme Töne entstehen, welche Kopfschmerzen hervorrufen können.

Fotos

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      Gesamtaufbau.
  

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      Skizze zum Versuchsaufbau.
  

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       Gesamtaufbau mit Gerätebeschriftung.
  

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       Vorstellung des Direktmischers als Black Box.
  

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       Gesteckte Platine für den Direktmischer.
  

Literatur

Universität Stuttgart, 5. Physikalisches Institut, AG Physik und ihre Didaktik, lizenziert unter CC BY-NC-SA 4.0