EXP:Atwoodsche Fallmaschine

Mithilfe der Atwoodschen Fallmaschine soll die Einhaltung der Newtonsche Grundgleichung gezeigt werden. Die Newton’sche Grundgleichung wird dabei wie folgt formuliert:

Wenn die resultierende Kraft ${\overrightarrow{F}}_{res}$ während der Zeitspanne $\mathrm{\Delta }t$ auf einen Körper ausgeübt wird, dann beträgt die Impulsänderung $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}={\overrightarrow{F}}_{res}\cdot \mathrm{\Delta }t.$

Abb.1: Aufbau einer Atwoodschen Fallmaschine.

Abb.2: Alternativer Aufbau einer Atwoodschen Fallmaschine.

Theoretische Zusammenfassung

Nun wird aus den Messwerten für die Fallstecke und die Fallzeiten die Beschleunigungen der fallenden Massestücke berechnet. Dafür wird die Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

$\mathrm{\Delta }s=\frac{1}{2}\cdot a_1\cdot (\mathrm{\Delta }\bar{t}{)}^2$

verwendet. Demgegnüber wird aus der Newtonschen Grundgleichung

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}={\overrightarrow{F}}_{res}\cdot \mathrm{\Delta }t$

eine Formel für die Beschleunigung an der Atwoodschen Fallmaschine theoretisch hergeleitet. Die Impulsänderung kann zunächst in eine Änderung der Geschwindigkeit umformuliert werden

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=m\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}.$

Die resultierende Kraft wird aus der Betrachtung der Gewichtskraft hergeleitet. Da die Gewichtskraft $F_{G1}=m_1\cdot g$ auf beiden Seiten der Umlenkrolle am selben Seil angreift und somit mit gleichem Betrag in genau entgegengesetzte Richtung wirken heben sie sich gegenseitig auf. Die resultierende Kraft entspricht demnach nurnoch der Gewichtskraft, die von der zusätzlichen Masse verursacht wird

${\overrightarrow{F}}_{res}=(m_2-m_1)\cdot \overrightarrow{g}.$

Zusammengefasst ergibt sich

$m\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}=(m_2-m_1)\cdot \overrightarrow{g}\cdot \mathrm{\Delta }t.$

Wir nun noch $\mathrm{\Delta }t$ auf die andere Seite multipliziert, $a_2=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}$ verwendet und für m die Gesamtmasse $m=m_2+m_1$ eingesetzt so folgt umgestellt nach der Beschleunigung:

$\overrightarrow{a_2}=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}\cdot \overrightarrow{g}.$

Allgemein

Klassenstufe	Klasse 9/10
Kategorie	Mechanik
Einordnung in den Bildungsplan von BW	Mechanik: Dynamik, Punkt 3.3.5.2 (2)

Klassifikation

Quantitativ/Qualitativ	Quantitativ
Demo-/Schülerexperiment	Beides möglich
Unterrichtsphase	Übungsphase
Einzelversuch/Versuchsreihe	Einzelversuch

Didaktischer Rahmen

Fachdidaktische Zielsetzung

Mithilfe dieses Experiments sollen die SuS an naturwissenschaftliches Arbeiten herangeführt werden. Dabei experimentieren die SuS selbstständig, vertiefen dabei ihr Wissen und im Plenum werden mögliche Fehlerquellen diskutiert. Zeitgleich wird den SuS hier ein Meilenstein unserer Kulturgeschichte gezeigt. Mit diesem Experiment war es im Jahr 1784 für George Atwood erstmals möglich die gleichmäßig beschleunigte Bewegung im Freien Fall genauer zu untersuchen, da hier auf eine einfach Art und Weise die Beschleunigung verringert werden konnte.

Nötige Vorkenntnisse

Damit dieses Experiment im Unterricht gewinnbringend eingesetzt werden kann muss zentral die Newton’sche Grundgleichung bereits bekannt sein, da diese hier genauer überprüft werden soll. Weitere Begriffe wie die Gewichtskraft mit $F_G=m\cdot g$, die Impulsänderung $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}$ und die resultierende Kraft ${\overrightarrow{F}}_{res}$ sollten an der Stelle bekannt sein. Das Konzept der Kräfteaddition muss außerdem bekannt sein. Die Grundlegenden Begriffe wie Strecke oder Zeitspanne müssen vorausgesetzt werden. Um dieses Experiment im vollen Umfang zu verstehe muss den SuS das Prinzip einer festen Rolle als Umlenkrolle klar sein. Aus der Mathematik müssen die SuS an dieser Stelle das Umstellen von Gleichungen und den Umgang mit Brüchen beherrschen. Auch das muss möglicherweise zuvor nochmal wiederholt werden.

Mögliche Schülerschwierigkeiten

• Die SuS sind vermutlich noch nicht geübt im Umgang mit Stativmaterial. Für das Auf- und Abbauen muss daher genügend Zeit eingeplant werden.
• Genau so verhält es sich beim Umgang mit einer Stoppuhr. Auch ihre Verwendung sollte noch einmal erklärt werden.

Schülervorstellungen, die hier relevant werden

Bei diesem Experiment werden Schülervorstellungen zur Kraft, zur resultierenden Kraft und zur Trägheit relevant. Dabei vereinen die SuS unter dem Konzept der Kraft Eigenschaften der Kraft, der Energie, der Wucht und des Schwungs. Da in diesem Experiment die Kraft als Ursache einer Impulsänderung in Erscheinung tritt könnte dieses Experiment zu einer Klärung oder einer Festigung dieser Vorstellung beitragen. Zur resultierenden Kraft gibt es die Schülervorstellung Die stärkste Kraft gewinnt. Dabei gehen die SuS davon aus, dass immer die stärkste Kraft darüber entscheidet welcher Bewegung gefolgt wird und dass eine Kraft über einen Zeitraum aufgebraucht werden kann. Das Prinzip der resultierenden Kraft muss demnach zuvor eingehend wiederholt werden und muss in der Auswertung besprochen werden. Für die Abschlussbesprechung kann ebenfalls relevant sein, dass SuS davon ausgehen, dass die Trägheit von Körpern überwunden werden kann. Sie wird von den SuS als Etwas angesehen, dass nur beim Start aus einer ruhenden Position heraus auftritt und nicht mehr bei schon einer bestehenden gleichmäßigen Bewegung.

Versuchsanleitung

Benötigtes Material

• 1 Stativstange, 1 m
• Tischklemme für Stativstangen
• 1 Doppelmuffe
• Muffe mit Haken
• Meterstab
• Umlenkrolle
• Schnur (möglichst masselos, inelastisch, ca. 1 m)
• verschiedene Massestücke
• 1 Stoppuhr

Versuchsaufbau

Zu Beginn wird eine Tischklemme am Tisch befestigt. In diese wird das untere Ende einer Stativstange eingeklemmt. Als nächstes wird eine Muffe mit Haken am oberen Teil der Stange angebracht. An diesen Haken wird die Umlenkrolle gehängt. Im nächsten Schritt wird ein Lineal zur Hand genommen, an dem man eine Linealhalterung befestigt. Dann wird eine Doppelmuffe an der Stativstange unterhalb der Muffe mit Haken angebracht. An dieser Doppelmuffe wird das Lineal mit Linealhalterung festgeschraubt. Hierbei sollte das Lineal den späteren Versuchsablauf nicht behindert. Es ist empfehlenswert das Lineal so wie auf den Fotos anzubringen. Als letztes wird eine Schnur benötigt, an deren beiden Enden jeweils eine Schlaufe gemacht wird. Diese hält man am besten in der Mitte fest, um an beiden Schlaufen jeweils ein 500 g Massestück einzuhängen. Danach wird die Schnur um die Umlenkrolle gelegt.

Versuchsdurchführung

Als erstes wird zusätzlich zu den bereits befestigten 500 g ein 20 g Massestück an einer der beiden Seiten angebracht. Danach sollte man diese Massestücke an den Anfang des Lineals bewegen. Sobald man die Massen loslässt, wird mit einer Stoppuhr die Fallzeit gemessen, die die Massestücke benötigen um von der 0 cm zur 50 cm Markierung zukommen. Idealerweise sollte dieses Schülerexperiment in zweier Teams durchgeführt werden. Somit kann einer der beiden SuS horizontal auf das Lineal schauen um möglichst exakt die Fallstrecke abzulesen. Der\die Partner\-in kann dann gleichzeitig die Zeitmessung starten bzw. beenden. Dieses Vorgehen wird danach für 30 g, 40 g und 50 g schwere Massestücke jeweils dreimal wiederholt.

Abb.3: Befestigung eines Meterstabs an einer Stativstange.

Auswertung

Während der Durchführung des Schülerexperiments sollten die SuS ihre gemessenen Werte in einer Tabelle festhalten, wie z.B. in Tabelle 1.

Tabelle 1: Messwerte eines beispielhaften Demonstrationsexperiments

$m_1$ (kg)	$m_2$ (kg)	$\mathrm{\Delta }s$ (m)	$\mathrm{\Delta }{t}_1$ (s)	$\mathrm{\Delta }{t}_2$ (s)	$\mathrm{\Delta }{t}_3$ (s)	$\mathrm{\Delta }\bar{t}$ (s)
0,2	0,21	0,91	3,91	4,34	4,22	4,16
0,5	0,52	0,5	5,51	5,62	5,54	5,56
0,5	0,52	0,6	4,12	4,26	4,23	4,20
0,5	0,53	0,5	2,98	2,82	2,93	2,91
0,5	0,54	0,5	2,04	2,19	2,16	2,13
0,5	0,55	0,5	2,03	2,07	1,98	2,03
0,5	0,6	0,5	1,2	1,1	0,9	1,07

Hierbei wird die angehängte Masse von 500 g auf beiden Seiten der Schnur mit $m_1$ bezeichnet. Mit $m_2$ wird die Masse $m_1$ plus die zusätzlich angehängte Masse benannt. Außerdem steht $\mathrm{\Delta }s$ für die gefallene Strecke und $\mathrm{\Delta }\bar{t}$ für die gemessene Fallzeit, wobei dieser Wert der berechnete Mittelwert aus den drei durchgeführten Messungen ist. Der Mittelwert wird mit

$\mathrm{\Delta }\bar{t}=\frac{\mathrm{\Delta }{t}_1+\mathrm{\Delta }{t}_2+\mathrm{\Delta }{t}_3}{3}$

berechnet. Mit den oben hergeleiteten Formeln werden nun die beiden Beschleunigungen $a_1$ als experimentell bestimmte Beschleunigung und $a_2$als theoretisch bestimmte Beschleunigung berechnet. In Tabelle 2 sind die Ergebnisse dargestellt.

Tabelle 1: Messwerte eines beispielhaften Demonstrationsexperiments

$m_1$ (kg)	$m_2$ (kg)	$a_1$ (m/s²) (experimentell)	$a_2$ (m/s²) (theoretisch)	$\mathrm{\Delta }a$ (m/s²)
0,2	0,21	0,106	0,239	± 0,133
0,5	0,52	0,03	0,19	± 0,16
0,5	0,52	0,068	0,19	± 0,12
0,5	0,53	0,12	0,29	± 0,17
0,5	0,54	0,22	0,38	± 0,16
0,5	0,55	0,24	0,47	± 0,23
0,5	0,6	0,890	0,892	± 0,002

Fehlerabschätzung

• Wird die Beschleunigung mit der Formel der gleichmäßig beschleunigten Bewegung berechnet so ist zusätzlich der statistische Fehler der Reaktionszeit beim Bestimmen der Fallzeit zu beachten. Bei der Bedienung einer Stoppuhr liegt diese im Durchschnitt bei $\mathrm{\Delta }t=0,2$s . Diese muss bei der Fallzeit doppelt bedacht werden. Für eine Fallstrecke von $s=0,91$m und einer Fallzeit von $\mathrm{\Delta }\bar{t}=4,16$s ergibt sich damit ein statistischer Fehler für die Beschleunigung von:

$\mathrm{\Delta }a=|\frac{da}{dt}\cdot 2\cdot \mathrm{\Delta }t|=0,02\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}.$

Mit zunehmender Beschleunigung und damit abnehmender Fallzeit nimmt die Relevanz dieser Reaktionszeit zu.

• Statistischer Fehler beim Ablesen des Meterstabs von $\mathrm{\Delta }s=1$ mm.
• Zu Beginn des Experiments befindet sich der Großteil des Fadens auf der linken Seite. Während des Experiments verlagert sich der Schwerpunkt auf die rechte Seite des Experiments. So bremst die Masse des Fadens zu Beginn und trägt dann nach und nach zur Beschleunigung bei. Hilfreich ist deshalb die Verwendung eines möglichst masselosen Fadens.
• Um die Beschleunigung der Umlenkrolle mit zu berücksichtigen muss das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe $J=\frac{1}{2}\cdot m\cdot r^2$ mit einbezogen werden. Um die Umlenkrolle mit einer Winkelbeschleunigung $\alpha =\frac{a}{r}$ zu beschleunigen ist das Drehmoment $M=J\cdot \alpha$ notwendig. Für ein Drehmoment gilt außerdem $M=F_R\cdot r$ mit der wirkenden Kraft $F_R$ und dem Radius der Rolle $r$. Die Umlenkrolle hat hier eine Masse von $m=41,6$g, einen Radius von $r=5$cm und eine maximale Beschleunigung von $a=0,89\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.Damit folgt für die benötigte Kraft zur Beschleunigung der Umlenkrolle:

$F_R=\frac{J\cdot a}{r^2}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot m=0,019\text{N}.$

Damit ergibt sich:

${\overrightarrow{F}}_{res}+F_R=(m_1-m_2)\cdot g$

und es folgt:

$a=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2+J/r^2}\cdot g=0,875\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

für die maximale Beschleunigung. Das ergibt eine prozentuale Abweichung von 1,7%.

• Statistischer Fehler durch die Haftreibung der Umlenkrolle an ihrem Lager. Diese muss durch das zusätzliche Massestück zunächst überwunden werden. Es ergibt sich also eine Mindestmasse für das zusätzliche Massestück.

Sicherheitshinweise

• Wichtig ist hierbei, dass wenn man dieses Experiment als Schülerversuch durchführen möchte, dann sollte man anstatt den hier verwendeten 500 g lieber maximal 200 g Massestücke verwenden. Für einen Demonstrationsversuch sind 500 g jedoch auch erlaubt.

Fotos

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      Abb.1: Aufbau einer Atwoodschen Fallmaschine.
  

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       Abb.2: Alternativer Aufbau einer Atwoodschen Fallmaschine.
  

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       Abb.3: Befestigung eines Meterstabs an einer Stativstange.
  

Literatur

Universität Stuttgart, 5. Physikalisches Institut, AG Physik und ihre Didaktik, lizenziert unter CC BY-NC-SA 4.0